ESCUELA SECUNDARIA TECNICA Nº1- Almirante Guillermo Brown -ENSENADA

ESCUELA SECUNDARIA TECNICA Nº1 -Almirante GUILLERMO BROWN - ENSENADA



lunes, 28 de marzo de 2011

Uso de la calculadora

Uso de la calculadora
El presente documento es un trabajo  destinado a como enseñar el uso de la calculadora, la versión completa podrá encontrarse en
Se trata de una serie de recursos de cómo enseñar el uso de la calculadora, y contiene una variedad de problemas para ser resueltos con la calculadora.
Nosotros en la Escuela Técnica, contamos con calculadoras de última generación  que distan de lo que se propone en el documento, pero en realidad sirve y es muy importante desde el lugar de los métodos. En el Mes de las matemáticas, pretendemos que se inicie de “cero”, en este sentido este documento servirá en un cien por ciento. Cada docente encargado de esta área le sumará más funciones con criterio de escuela secundaria.

I -                 Problemas para conocer cómo funciona la calculadora  y los límites de la misma

En primer año será necesario abordar con los niños actividades que les permitan conocer el funcionamiento de la calculadora : con qué tecla se enciende y con cuál se apaga, las teclas de las diferentes operaciones, aprender a borrar si se equivocan, conocer el significado de otras teclas aunque no las utilicen, etc.

El trabajo exploratorio del teclado de la calculadora involucrará que en ocasiones los niños se enfrenten a conocimientos matemáticos que aún no tienen disponibles, y que evidentemente requerirán de otros problemas y tiempos para su adquisición. 

En primer año, una vez que los niños pueden utilizar la calculadora por sus propios medios y ya conocen los signos +, - e = con lápiz y papel algunas actividades que podrán realizar son:

-         Resolver con la calculadora cálculos sencillos de sumas y restas. 
-         Buscar con la calculadora y registrar en el cuaderno varios cálculos que den un resultado dado.
-         Corregir cálculos realizados por sí mismos o por sus compañeros en lápiz y papel. 
-         Resolver problemas usando la calculadora. Registrar en el cuaderno qué cálculo realizaron para cada problema.
-         En parejas cada alumno escribe en un papel un número y el compañero, en un tiempo dado, tiene que encontrar con la calculadora la mayor cantidad de cuentas que den por resultado ese número. Gana el alumno de la pareja que logró encontrar más cuentas.
-         En grupos reciben una hoja con una serie de cálculos y tienen que encontrar y corregir los erróneos.
-         Los niños reciben una hoja con un cuadro de doble entrada en el que hay números escritos y tienen que  buscar cuentas cuyo resultado sea cada uno de esos números.
-         El docente entrega una lista de cálculos muy sencillos a cada pareja de alumnos. Uno de los niños realiza los cálculos en lápiz y papel y el otro con la calculadora. Gana el que los hace más rápido. (Esta actividad apunta además a poner en evidencia que los cálculos muy sencillos se hacen más rápido mentalmente)
A partir de tercero o cuarto años los alumnos, además de conocer el teclado y el funcionamiento de la calculadora, podrán estudiar con más profundidad aspectos “menos visibles” de la misma. Por ejemplo, el uso repetido de algunas teclas y el efecto que producen. Para ello es posible plantear la investigación en diferentes calculadoras. Estas funciones varían según si las calculadoras son estándar o científicas, y hay incluso calculadoras estándar en las que se obtienen resultados diferentes según cómo es interpretada la repetición de los signos. Algunos problemas que apuntan a este objetivo pueden ser los siguientes:

  “Si oprimimos en la calculadora las siguientes teclas:  25  +  =  ¿Qué número aparece? ¿Sucede lo mismo con todas las calculadoras?”

“Y si oprimimos 25 + = = ?”

“¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla  =  después del 25 para que aparezca en el visor el número 200?”

“¿Qué aparecerá en la pantalla si oprimimos  36 – 6 = = ?. ¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla  =  para que aparezca el número 0?”

“Si oprimen en la calculadora 10 x =  ¿Qué número aparece? ¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla =  para que aparezca 1.000.000?”

“Si oprimen en la calculadora 25 : 5  =  = ¿Qué número aparece?. Y si oprimen   3125 : 5 = = .. ¿Cuántas veces hay que oprimir el  =  para que aparezca el 1?”

Evidentemente estos problemas, además de apuntar a estudiar el uso repetido de las teclas en las calculadoras, permiten abordar conocimientos específicos de las operaciones y sus propiedades. En este apartado los incluimos como problemas para conocer el uso de la calculadora, pero algunos de ellos pueden ser planteados en otro momento del año como problemas para el estudio de la división, de los múltiplos y divisores, de la potencia, etc.

Otros problemas para cuarto o quinto años que permiten comparar el uso de la calculadora  estándar con la calculadora  científica son, por ejemplo:

“Realicen el siguiente cálculo con calculadora  común y con calculadora científica: 3x4+4x5 =  ¿Cómo explican que se obtengan diferentes resultados? ¿Cuál es correcto y por qué? ¿Cómo hacer estos cálculos con la calculadora común?”

Recordemos que frente a un cálculo como 3x4+4x5 las calculadoras estándar realizarán los cálculos a medida que se incorporan, es decir 3x4=12, luego considerará 12+4=16 y finalmente 16x5=80, evidentemente resultado incorrecto. Es como si hicieran (3 x 4 + 4 ) x 5. En cambio, las calculadoras científicas frente a ese mismo cálculo contemplan la jerarquía de las operaciones, es decir que realizarán 3x4 y 4x5 haciendo 12 (de 3x4) +20  (de 4x5) arrojando un resultado diferente, en este caso 32.

Este problema pone de manifiesto un “límite” de la calculadora estándar: no conoce la jerarquía de las operaciones, es decir que opera por orden de escritura  sin tener en cuenta la separación en términos. La calculadora  científica en cambio sí tiene en cuenta la separación de los términos .
Además de comparar el funcionamiento de ambas calculadoras y abordar la cuestión de la separación en términos, esta situación permitiría discutir sobre una tecla de la calculadora  estándar que permite controlar la jerarquía de las operaciones externamente: la función memoria. Un modo de resolver el problema es realizar 3 x 4, guardar el resultado parcial con la tecla memoria y luego de realizar el segundo cálculo sumarle el resultado del primero a partir de la tecla memoria.

Otra clase de problemas que apuntan a este mismo aspecto son aquellos en los que hay que averiguar un resultado total que surge de cálculos parciales. Por ejemplo:

Lista de precios:

Juegos de computadora        $14
Libros de texto de 1er ciclo   $19
Libros de texto de 2do ciclo $ 23
Calculadoras                        $ 2
Compases                           $ 3

La presidente de la cooperadora de la escuela averiguó utilizando la calculadora que le alcanza con $400 para comprar  5 libros de texto de primer ciclo, 7 libros de texto de 2do ciclo, 20 calculadoras y 20 compases. ¿Qué cuentas pudo haber hecho? Anotalas y hacelas con la calculadora .

Este problema permitirá abordar en la clase estrategias diferentes para realizar la acumulación de resultados parciales. El uso de la función memoria podrá instalarse como medio económico de resolución.

Otro “límite” de la calculadora que puede ser estudiado por los alumnos de segundo ciclo es que trunca resultados de cálculos, es decir que “corta” el número según la cantidad de dígitos de la misma sin considerar un posible “redondeo”. Frente a un resultado que sea 23456,345  y frente a otro que sea 23456,34599999999 si tiene 8 dígitos escribirá el mismo número en la pantalla, en lugar de determinar que el segundo puede ser redondeado a 23456,346. Frente a una gran cantidad de problemas en los que es más conveniente redondear que truncar, será necesario considerar el redondeo como una actividad posterior al cálculo de la calculadora. Comparar resultados obtenidos en diferentes calculadoras con más o menos dígitos permitirá abordar esta cuestión y tenerla en cuenta para siguientes problemas.

La calculadora  tampoco permite obtener el resto de una división con números naturales. Veamos el siguiente  problema:

“Analía tenía 76 globos para repartir en partes iguales entre sus 9 alumnos. Antes de repartirlos quiso saber cuántos sobrarían e hizo cuentas con la calculadora ¿cuántos globos sobran?, ¿qué cuentas habrá hecho?”

Si los alumnos lo resuelven con la calculadora la misma arrojará como resultado de la división 8,444444444 pero en ese número no es muy sencillo encontrar con cuántos globos se quedó Analía. Reconstruir el resto de la división implicará despreciar la parte decimal, “quedarse” con el 8, multiplicar luego 8 x 9 y  calcular que si había 76 y usó 72 se quedó con 4 globos para ella haciendo 76 - 72. Evidentemente este problema puede ser planteado a los alumnos de tercero, cuarto o quinto año con la finalidad de ampliar los significados de la división y la relación entre cociente, divisor, resto y dividendo , pero aún cuando dicho conocimiento matemático esté ya disponible, este problema permite investigar otro “límite” de la  calculadora .

              Conocer en profundidad el uso de la  calculadora  involucra entonces conocer su teclado, sus funciones, sus límites. También los alumnos de fines del segundo ciclo y del tercero podrán estudiar las formas de escritura sintética de los números expresados en la calculadora  con notaciones científicas, por ejemplo 464,3 x 104.   Para ello se les pueden plantear problemas que arrojen como resultados números de gran cantidad de cifras y analizar los números que se obtienen según las calculadoras y las diferentes formas de notación que utilizan.


II.                    La calculadora para aprender más sobre las propiedades de las operaciones

La calculadora puede ser un medio para trabajar las estrategias de cálculo mental y las propiedades de las operaciones que son objeto de estudio en cada ciclo.

Desde los primeros años se pueden plantear problemas que permitan analizar las relaciones ente operaciones inversas. Por ejemplo:

“Buscar usando la  calculadora  qué número hay que sumarle a 17 para obtener 30”

Problemas de este tipo permitirán explicitar la relación entre la suma y la resta 17 +.... = 30    Muchos alumnos encontrarán el número realizando sumas parciales hasta llegar al número solicitado como por ejemplo realizar 17 +5 +5 +2 +1. Otros niños reconocerán que es posible hacer  30 – 17. La relación entre estos procedimientos puede ser objeto de trabajo para todos los alumnos.

Y en segundo ciclo:

“Resolver usando la  calculadora ”:
34 x .........= 748
120 :  ....... =  6

              Muchos alumnos probarán multiplicar al 34 por diferentes números hasta llegar a un número cercano al 748. Por ejemplo por 10, luego por 20, por 30, como se pasaron por 21, luego 22. ¿Cómo promover en la clase que los alumnos pasen de estos procedimientos de aproximación en la búsqueda a reconocer que si se divide 748 por 34 se obtiene el número buscado? La puesta en común y la comparación entre diferentes estrategias utilizadas por los alumnos o propuestas por los docentes permitirán instalar la relación entre la multiplicación y la división en este tipo de problemas.

              Otras situaciones que ponen en juego estrategias de cálculo mental con la calculadora  son aquellas que exigen analizar los números involucrados y apoyarse en las relaciones entre los mismos.  Por ejemplo, en primero o segundo año:

“Escriban en el visor de la calculadora el número 55. Con una única resta lograr que aparezca 45, luego 35, luego 25, etc.”

“Coloquen en el visor de la calculadora el número 37. Haciendo únicamente una suma, logren que aparezca en el visor el número 100”.

Y en tercero o cuarto año cálculos que ponen en juego la multiplicación por la unidad seguida de ceros:

“Completar el número que falta y verificar con calculadora ”:
25 x – = 100; 25 x – = 1.000; 25 x – = 10.000;  25 x – = 100.000

              En todos estos cálculos se pone en juego la necesidad de apoyarse en las propiedades de las operaciones para anticipar resultados. La calculadora  es la herramienta de control de las anticipaciones y para realizarlas es necesario utilizar ciertos conocimientos matemáticos.


Otra actividad posible con los niños es proponerles un “juego de magia” . Se trata de una serie de operaciones que, quien las plantea, sabe de antemano  que lo conducen al número original. Por ejemplo, para los primeros años:



Maestro


Alumno
-         Escribí en la calculadora  un número
Cualquiera y no lo digas
(Escribe 5)
- Sumale 4

(Le suma 4 y obtiene 9)
- Sumale 8
(Le suma 8 y obtiene 17)
- Restale 2
(Le resta 2 y obtiene 15)
- Ahora decime qué número te quedó.

- Me quedó 15
(Restándole 10 al número obtenido 15 –10 obtiene el número elegido por el alumno)
- ¿Era el 5?




- Sí.



              El maestro luego de jugar dos o tres veces con sus alumnos propone analizar “cómo hace él para saber qué número eligió el alumno”. Para ello anota las preguntas y respuestas en el pizarrón. Se trata de que los alumnos encuentren qué propiedades o regularidades subyacen a la “magia”. Se apunta a que los niños tomen conciencia de que sumar 4 y 8 y luego restar 2 y 10 “deja” el mismo número. Luego se pueden inventar otras series de pasos. El trabajo de los alumnos consistirá en la explicitación de  “cómo hacer para inventar un nuevo truco”.






Un juego similar para el segundo ciclo podría ser:




Maestro


Alumno
Escribí en la calculadora  un número cualquiera y no lo digas.
(Escribe 5)
- Multiplicalo por 10
(Multiplica por 10 y  obtiene 50)
- Sumale 15
(Suma 15 y obtiene 65)
- Restale 6
(Resta 6 y obtiene 59)
- Agregale 1
(Agrega 1 y obtiene 60)
- Restale 10
(Resta 10 y obtiene 50)
- Ahora decime qué número te quedó.

- Me quedó 50
- Dividilo por la mitad
- Me quedó 25
(Dividiéndolo por 5 obtiene el número elegido por el alumno)
- ¿Era el 5?


- Sí.



En este caso se podrá analizar que al número original se le suma y resta 16 (se suman 15 y 1 y se restan 6 y 10) con lo cual el número queda igual y se multiplica por 10 y se divide por 2 y por 5 también constituyendo operaciones inversas. 

              Los “trucos” que los alumnos encuentren utilizarán implícitamente propiedades de las operaciones que pueden ser explicitadas: “cuando sumás 0 no cambia el número”, “si sumás primero un número y después se lo restás en partes volvés al mismo número”, “si hacés el doble y después la mitad te queda igual”, etc.

En el segundo ciclo podrán incorporarse los nombres de estas propiedades a partir de su uso: elemento neutro, propiedad conmutativa, propiedad asociativa, etc. En quinto o sexto años los alumnos podrán también analizar las relaciones entre la multiplicación y la división. Por ejemplo “si multiplicás por 3, luego  por 4 y por 2  luego podés dividir por 6,  por 2 y otra vez por 2 y te queda el mismo número”  o bien “3x4x2 es igual que 6x2x2” o “multiplicar por 50 es equivalente a multiplicar por 100 y luego dividir por 2”.

Otros problemas que apuntan a estudiar las propiedades de la multiplicación y la división son los siguientes:

“En una calculadora  se tecleó 35 x 100, pero se cometió un error ya que se quería multiplicar por 50. ¿Cómo corregirlo sin borrar lo que ya está?”

“En otra calculadora  se tecleó 325 x 500, pero se quería multiplicar por 50. ¿Cómo corregirlo sin borrar?”

“En otra se tecleó 35 x 600, pero se quería multiplicar por 30. ¿Cómo corregirlo esta vez?”

Estos problemas buscan que los niños puedan poner en juego la propiedad asociativa de la multiplicación y la división teniendo en cuenta que multiplicar por 100 es equivalente a multiplicar por 50 y luego por 2, o que multiplicar por 50 es equivalente a multiplicar por 500 y luego dividir por 100.

Otros problemas exigen anticipar las relaciones entre números, por ejemplo cuántas veces entra un número adentro de otro, problemas que involucran la idea de escala o de múltiplos. Por ejemplo:

“Escribí un número de dos cifras en la calculadora. Restale 3 todas las veces que  puedas. Ganás si en algún momento aparece en el visor el número 0”

              Muchos alumnos empezarán con un número elegido al azar. Otros en cambio seleccionarán el número anticipando qué números elegir para ganar. El trabajo colectivo apuntará a que toda la clase se apropie de estrategias que permitan realizar dicha anticipación apoyándose en el conocimiento sobre múltiplos y divisores.

Hemos mencionado anteriormente que la calculadora  no informa el resto de la división con números naturales porque arroja cocientes con decimales. Los problemas que exigen analizar el resto o determinar el dividendo también ponen en juego las propiedades de las operaciones, en este caso las relaciones entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Por ejemplo:

“Encontrar con la calculadora números que al dividirlos por 13, se obtenga resto 6”
“Buscar cálculos en los que el divisor sea 6 y el resto 4”
“Buscar con la calculadora cuál es el resto de 3456 dividido por 15’

Los problemas que plantean ciertas restricciones en el uso de la calculadora exigiendo la búsqueda de alternativas también buscan poner en juego propiedades de las operaciones. Por ejemplo, en primer año con el fin de que los niños realicen descomposiciones aditivas: 

“Realizar la suma 50 + 50 sin usar la tecla del 5.”.
“Realizar la resta 37 – 15 sin usar la tecla del 5.”
“Si tenés que hacer con la calculadora 124 + 134 y no funciona la tecla del 4 ¿qué otras cuentas podés hacer para obtener el resultado?”

Estos problemas promueven considerar el 50 como un 40 + 10 o como 20 + 30 y el 15 como un 12 + 3 o 14 + 1, etc.

En un cuarto año también se pueden plantear cálculos con calculadora con restricciones en el uso de teclas para promover el análisis y uso de las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva en las diferentes operaciones. Por ejemplo:

“Realizar la multiplicación 50 x 22 sin usar la tecla del 2.”
“Realizar la división 2580 : 4 sin usar la tecla del 4.”
“Realizar la división 3522 : 6 sin usar la tecla del 6”

El primer problema promueve la descomposición del 22 en 11 + 11 o en 19 + 3 y la utilización de la propiedad distributiva haciendo 50 x 11 + 50 x 11 ó 50 x 19 + 50 x 3.   El segundo provoca la discusión acerca de que dividir por 4 es equivalente a dividir por 2 y luego nuevamente por 2.  Frente al tercero muchos alumnos producirán una respuesta errónea al dividir por 3 y nuevamente por 3 y será necesario analizar por qué puede ser dividir por 2 y luego por 3 o viceversa pero no por 3 y por 3 poniendo en juego el análisis de la propiedad asociativa.


También es posible plantear situaciones específicas que apuntan a la estimación:


Cuenta

Resultado que estimás
Resultado  que obtenés
con la cuenta
¿son cercanos?
Resultado obtenido con calculadora
¿estaba bien la estimación?
124 + 450
¿300 a 400?
¿400 a 500?
¿más de 500?




345 + 234






123 + 99









O en cuarto año:

“Entre estas cuentas hay algunas falsas y otras verdaderas. Marcá las que creés que son falsas, justificá por qué lo creés  y verificalo con la calculadora:

a)2424: 6 = 44
b)2424: 6= 404
c)2424: 12 = 22
c) 2424: 12= 202

En líneas generales, los alumnos, siempre que realizan cálculos con lápiz y papel, podrán corregirlos con la calculadora. Esto permite a los alumnos continuar trabajando sobre los cálculos que no les salieron y al docente ocupar la atención de la clase en aspectos más relevantes que la corrección. Por otra parte, cuando los alumnos utilizan la calculadora para resolver problemas, es interesante que aprendan también a estimar cuánto creen que obtendrán. La calculadora también debe ser “controlada” en tanto un sencillo error conduce a un resultado muy alejado del posible.

En síntesis, los alumnos deben aprender a controlar los resultados de sus cálculos mentales y de las cuentas por medio de la calculadora y a su vez a controlar el cálculo con calculadora por medio del cálculo mental estimativo. Hemos intentado en este apartado mostrar la potencia de la calculadora para resolver problemas dirigidos a enseñar aspectos del cálculo mental, del cálculo estimativo y de las propiedades de las operaciones en cada ciclo. Estos aspectos complementan el tratamiento de las operaciones.



III-  La calculadora para aprender más sobre los números naturales

              Un tipo de problemas a plantear a los alumnos de primer ciclo con el objetivo de que analicen el valor posicional en nuestro sistema de numeración son aquellos que exigen realizar una transformación de alguna de las cifras . Por ejemplo:

“Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 4 por otro número pero que el 3 quede igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora”

“Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 3 por otro número pero que el 4 quede igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora”

“Escribir en la calculadora el número 534. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 5 por otro número pero que los otros queden igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora”

              En estos problemas la finalidad es que los alumnos analicen cómo varía el valor de una cifra según la posición que ocupa en el número. En el primer problema se apunta a que los niños puedan considerar que hay que sumarle o restarle 1, 2 , 3, etc. Se podrá provocar el análisis acerca de por qué si se le suma más de 5 o resta más que 4 también varía el primer número. En el segundo problema se busca que los alumnos tomen conciencia de que en este caso hay que sumar o restar 10, 20, 30, etc. y que elaboren explicaciones acerca de cómo hacen para darse cuenta de que no se trata esta vez de sumar o restar 1, 2 ó 3.  Y el tercer problema amplía la cuestión a sumar o restar 100, 200, 300, etc.

              Otros problemas similares son los siguientes:

              “Si tenés en la pantalla de la calculadora el número 134 ¿qué calculo tenés que hacer para obtener 104? (Con una sola cuenta)”

              En este problema es habitual que muchos niños de los primeros años consideren que hay que restarle el 3, en lugar de el 30 . La puesta en común apuntará a reconocer justamente que ese 3 vale 30 por la posición que ocupa.

              Incluso en el segundo ciclo problemas como los siguientes siguen siendo muy costosos para los alumnos:

“Transformar el 1987 de la pantalla de la calculadora en 1007 con una sola cuenta”

“Convertir el 456.678.987 en 400.000.007 o en 450.078.907 en cada caso con un solo cálculo”
:
             
“Obtené en la calculadora el número 3456 usando solamente los números del 1 al 9, 10, 100 y 1000 y los signos + y x”
             
Este problema apunta a que los alumnos puedan pensar el 3456 como 3x 1000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 6.

IV-   La calculadora para aprender más sobre los números decimales y fraccionarios

La calculadora también es una herramienta que permite plantear problemas que contribuyen al análisis del valor posicional en los llamados “números decimales”, es decir en las expresiones decimales de los números racionales. Similares a los problemas presentados para los números naturales para los primeros años, un tipo de problemas para  quinto o sexto año son aquellos que exigen realizar una transformación de alguna de las cifras. Por ejemplo:

“Escribir en la calculadora el número 5,34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 5 por otro número pero que los otros queden igual? ¿Y para que cambie el 3? ¿Y para que cambie el 4? Anotalas en la carpeta y probá con la calculadora”

              Este problema exige por ejemplo analizar que para cambiar el 5 es necesario agregar o restar unidades, en cambio para que cambie el 3 ó el 4, dado que ocupan la posición de décimos o centésimos, será necesario agregar o quitar 0,1 ; 0,2  ; etc. o bien 0, 01 ; 0,02 ; etc. Pone en juego un análisis del valor posicional en los números decimales. La exigencia de registro escrito en la carpeta apunta a evitar los procedimientos de búsqueda azarosa y a provocar en su lugar una anticipación. Luego la calculadora permitirá simplemente ejercer el control de dichas anticipaciones realizadas.

              Otros problemas que también apuntan a investigar el valor de los números según la posición que ocupan y a reconocer los efectos de la multiplicación o división por la unidad seguida de ceros podrían ser:

“Escribir en la calculadora el número 3,4. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie la coma de lugar? Anotalas en la carpeta y probá con la calculadora”

“Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que se transforme en 3, 4?¿Y en 0,34? Anotalas en la carpeta y probá con la calculadora”

              En estos problemas la finalidad es que los alumnos analicen cómo varía el lugar de la coma al transformarse las unidades en décimos, los décimos en centésimos, las unidades en centésimos o viceversa según si se multiplica o se divide por 10 o por 100, etc. Se intentará que los alumnos encuentren y elaboren razones acerca de por qué se modifica el lugar de la coma decimal.

              Solicitarles luego a los alumnos que elaboren explicaciones escritas en forma grupal acerca de “cómo hacen para darse cuenta de que operaciones tienen que hacer” busca producir una explicitación de las propiedades de los números.

              Otros problemas similares son los siguientes:

              “Si tenés en la pantalla de la calculadora el número 13,54 ¿qué calculo tenés que hacer para obtener 13, 04? (Con una sola cuenta)”

              En este problema es habitual que muchos niños consideren que hay que restarle  5, en lugar de 0,5. La puesta en común apuntará a reconocer justamente que ese 5 vale 0,5 por la posición que ocupa. O bien:

“Transformar el 1,987 de la pantalla de la calculadora en 1,007 con una sola cuenta”
“Convertir el 456.678,987 de la pantalla en 400.000,007 con un solo cálculo”
“Convertir el 456.678,987 de la pantalla en 450.078,907 con un solo cálculo”

              Reconocer que allí se trata de restar en el primer caso 0,98,  en el segundo 56.678,98 y  6600,08 en el tercero evidentemente exige un análisis riguroso del valor de los números.

              Otros problemas que se pueden resolver con la calculadora son aquellos en los que se presentan cuadros de doble entrada con números dados sobre los que es necesario agregar 0,10; 0,20; 0,30, etc. , restar  0,001; 0,002 , etc. Por ejemplo, una lista de precios que se modifican en 10 centavos cada semana, una lista de medidas de longitud o de peso de ciertos productos y cómo varían si se les agrega una capa de un material que los recubre (0,01 cm ; 0,02 cm, etc. o bien 0,1 g. 0,2 g, etc.). La tarea de los alumnos reside en completar los cuadros de doble entrada con las nuevas variaciones de  números y averiguarlos con la calculadora. Evidentemente, a medida que los alumnos empiezan a anticipar los resultados que van obteniendo, abandonan su uso y establecen regularidades que les permiten obtenerlos sin realizar cálculos. La puesta en común puede apuntar a que los alumnos analicen qué cifras varían y cuáles no y que establezcan explicaciones acerca de estas variaciones. Por ejemplo “cuando le  aumentás 0,01 el único número que cambia es el de los centésimos”, “al aumentar 0, 0003 ó 0,0004 cambia la cifra que ocupa el lugar de los diez milésimos y los otros no”, etc.

Otros problemas que también apuntan al análisis de este campo numérico son los siguientes:

“Marcelo tecleó en la calculadora el número 0,24  pero se confundió y quería que apareciera el 2,4. ¿Cómo puede transformar el número con una sola operación?”
             
Este problema busca nuevamente que los alumnos pongan en juego la multiplicación o la división de números decimales por la unidad seguida de ceros, si bien existe otra solución que es sumarle la diferencia. O bien:

“En la calculadora quiero hacer  2,22 + 2,2  pero no funciona la tecla del 2. ¿Cómo puedo resolverlo sin usar esa tecla?”

              En este caso se apunta a realizar una descomposición aditiva, por ejemplo 1,11 + 1,11 + 1,1 + 1,1 que exige un alto grado de análisis del significado de cada uno de los números involucrados.

              Un problema como el siguiente intenta  que los alumnos consideren que el 2,45 es 2 unidades, 4 décimos y 5 centésimos y por lo tanto se  puede componer realizando 1+1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,01+0,01+0,01+0,01+0,01.

“¿Cómo harían para obtener con la calculadora el número 2,45 usando únicamente las teclas 0 , 1, la coma decimal  y las operaciones que necesiten?

              También se puede promover una descomposición multiplicativa de los números:
             
“Obtené en la calculadora el número 3,456 usando solamente los números del 0 al 9 , la coma y los signos + y x”
             
Este problema apunta a que los alumnos puedan pensar el 3,456 como 3 + 4 x 0,1 + 5 x 0,01 + 6 x 0,001.

Otras situaciones proponen investigar cómo se puede obtener un número decimal  a partir de un cálculo con números naturales:

“Proponer con la calculadora cuentas con números naturales cuyo resultado sea 0,1;   0,01;     0,5 ;  3,2. No se puede oprimir la tecla del punto”.

A los alumnos inicialmente les parece imposible que con números naturales se obtenga un número decimal. En este caso la solución pasa por realizar divisiones entre naturales con cociente decimal, por ejemplo 1: 10 = 0,1 o bien 1:100 = 0,01 ; 32: 10, etc.

En tercer ciclo, es posible enfrentar a los alumnos con situaciones que exijan una nueva reflexión sobre el funcionamiento de los números racionales, tanto en su expresión fraccionaria como en su expresión decimal.

              Situaciones similares han sido ya presentadas para ser tratadas en el segundo ciclo, pero si los alumnos no han tenido tal experiencia, parece pertinente que la desplieguen en este ciclo.

              Un tipo de problemas implica el análisis de la relación entre la expresión fraccionaria y la decimal, intentando explicitar que toda fracción es también un cociente de números naturales. Por ejemplo, el siguiente problema:

“Usando la calculadora y números naturales, proponer operaciones que den como resultado 3,2. Proponer ahora números fraccionarios equivalentes a 3,2”.

              Esta situación pone de manifiesto la idea de que un cociente entre naturales, bajo ciertas condiciones, “arroja” en el visor de la calculadora una expresión decimal. Es importante que los alumnos puedan analizar dichas condiciones y establecer en que casos el resultado será con coma y en cuales casos no. No se trata de proponer números en la calculadora azarosamente, sino que se busca la exploración en base a propiedades que garanticen la obtención del resultado esperado. Este juego de ensayo y error “controlado” permitirá que los alumnos identifiquen que hay numerosos cocientes entre enteros que arrojan como resultado 3,2, y que todos ellos son representantes de fracciones equivalentes.

              Otro tipo de situaciones que involucran el uso de la calculadora permiten poner en discusión una propiedad fundamental de los números racionales: la idea de densidad. Por ejemplo:

Se trata de un juego en el que se enfrentan dos equipos A y B, que  podrían estar formados, cada uno,  por un alumno o dos.  El docente propone al equipo A  un número mayor que 1 y menor que 5  y al equipo B un número mayor que 5 y menor que 10.  Ambos equipos tienen que utilizar la calculadora no científica. El equipo A solo puede utilizar la tecla + y cualquier número y el equipo B sólo usa la  tecla  -  y cualquier número. En la primera ronda, el equipo A tiene que sumar algún número al asignado y dejar el resultado en el visor de la máquina. El equipo B  tiene que restar del número asignado por el profesor, otro que elija, manteniendo el resultado en el visor de su calculadora. A continuación el equipo A suma otro número cualquiera al que quedó en el visor y el equipo B resta otro número cualquiera del que quedó en su visor y así sucesivamente.  Si el equipo A obtiene un  número igual o mayor al que tiene el equipo B en el  visor pierde. Si el equipo B tiene obtiene un número igual o menor al que tiene A en el visor pierde.

              El problema conduce a que, en determinado momento, los alumnos se vean “acorralados” en un intervalo de longitud 1. Por ejemplo, si un equipo llegó al 5 y el otro al 6,  deben decidir que sumar o restar para no alcanzar al otro. Esto exige considerar números “con coma”. Al continuar el juego, los alumnos vuelven a verse enfrentados a un intervalo de longitud 0,1. Por ejemplo: el equipo A llegó al 5,7 y el equipo B obtuvo 5,8. La decisión de que número sumar o restar implica un primer reconocimiento de la existencia de números entre 5,7 y 5,8. Lo mismo ocurre cuando se arriba a intervalos de menor longitud. Por ejemplo entre 5, 75 y 5,76. Allí también hay números. Una marca del reconocimiento de la “infinitud”, es la expresión de algunos alumnos: “Esto no termina nunca” , “Se puede seguir y no gana nadie”.

              El recurso de la calculadora también habilitada al estudio de algunas particularidades de los números periódicos. Por un lado, el reconocimiento de la existencia de cocientes que parecen “no terminar nunca”. Tal es el objeto del siguiente ejemplo:

“Inventen una cuenta entre números naturales en la calculadora, de manera tal que en el visor aparezca como resultado un número periódico”.

              No se trata de que los alumnos sólo tecleen cálculos en la máquina. Se busca que puedan comenzar a reconocer que no cualquier cociente entre enteros “arroja” en el visor un número periódico. Es esperable que pueda desarrollarse una discusión en torno a qué números anotar, por ejemplo: “No conviene dividir por 10, ni por 100, ni por 1000, si se eligen números mayores que 10, 100 o 1000” ; “El primero no tiene que ser múltiplo del segundo”, “No sale si dividís por 2”, etc.

              Estas primeras ideas pueden ser objeto de análisis, intentando establecer la relación entre los restos que se van obteniendo (si se hace la cuenta “a mano”) y los números que aparecen como resultado en el visor de la calculadora. Una primera cuestión sería identificar que el período lo conforma un solo dígito si todos los restos que se van obteniendo mediante el algoritmo son iguales. Y esto vale para el análisis de otros casos, como el del siguiente ejemplo:

“Inventen una cuenta en la calculadora, de modo que el resultado que aparezca en el visor sea un número periódico, con dos cifras en su período”.

              Este problema busca que los alumnos puedan reconocer que, para que el resultado del cociente tenga dos dígitos en su período, en la división “hecha a mano” deben aparecer dos restos diferentes y no más.

El siguiente ejemplo intenta hacer explícita la relación entre la cantidad de dígitos que hay en un número periódico y los diferentes restos que pueden aparecer en un cociente, si se apela al algoritmo convencional:

“¿Será posible encontrar una cuenta de dividir por 7 en la calculadora, en la cual el resultado sea un número periódico que tenga siete cifras en su período? ¿Por qué?”

              Evidentemente, la calculadora es un instrumento que permite explorar más o menos rápidamente. Pero esconde los motivos por los cuales arroja los resultado que aparecen en el visor. Es responsabilidad del docente retomar dichas exploraciones intentando que los alumnos busquen argumentos que sostengan los resultados que surgen en la máquina. En este caso, reconocer que al dividir un número por 7, los posibles restos que irán apareciendo variarán entre los números 0 y 6. Si el resto es 0, la cuenta termina. Con lo cual quedan 6 restos posibles. Si aparecen todos al hacer la cuenta “a mano” , el resultado del cociente tendrá 6 números en el período:

                           41                      7
                             60                5,8571428…
                               40
                                 50
                                   10
                                     30
                                       20
                                         60  y vuelve a comenzar


V- La calculadora para aprender más sobre porcentaje

              La calculadora también es un instrumento que permite “revisitar” la idea de porcentaje, explorando algunas relaciones que no son explícitas en la máquina. Por un lado,  hay que brindarles información a los alumnos para que reconozcan la posibilidad de obtener porcentajes de las cantidades que se desee, usando este instrumento. Tal es el objetivo del siguiente ejemplo:

“¿Cómo harías para determinar el 15% de 70, utilizando la calculadora?”

              Muchos alumnos del tercer ciclo no reconocen en la calculadora la tecla que determina el porcentaje (algunos hasta la confunden con la tecla de dividir) y, aunque la identifiquen, no se dan cuenta de cómo se utiliza. Es necesario aportar información con la finalidad de que todos los alumnos logren obtener porcentajes usando la calculadora.

              También es posible discutir con los alumnos la idea de que se podría haber hecho 70 x 0,15, reconociendo de esta manera el 15% a partir de 15 : 100= 0,15

Una vez identificado el modo de funcionamiento, se les podrá proponer a los alumnos la resolución de una variedad de problemas que impliquen un desafío aún mayor, como por ejemplo, el siguiente caso:

“El boleto costaba antes 60 centavos. Ahora cuesta 75 centavos. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?. ¿Cómo lo determinarías, usando la calculadora?”

              Es interesante que los alumnos encuentren recursos que les permitan no solo obtener porcentajes, sino determinar el porcentaje que implica alguna variación de una cantidad determinada

              Por otro lado, es importante que los alumnos dispongan del conocimiento que les permita calcular aumentos o descuentos, con la calculadora, como es el caso del siguiente ejemplo:

“Para bonificarme con un descuento del 12%, sobre una compra que hice de $ 84, un empleado oprime en la calculadora común las siguientes teclas:  84 x 12 %  -  =  obteniendo  73,92 . ¿Será esa la cantidad que debo abonar?”

              En numerosas situaciones, oprimimos teclas bajo un cierto control de las acciones. En el caso del ejemplo, un cálculo posible es buscar el 12% de 84  (10,08) y, una vez obtenido este valor, restárselo a 84 (84 – 10,08 = 73,92). Pero en la calculadora es posible de hacer todo este cálculo de un solo. Este tipo de situaciones implica escrituras que si bien, no son reconocidas matemáticamente (84 x 12% - =) sí son aceptadas por la calculadora como parte de sus características de funcionamiento.

              Pero hay ciertas reglas de dicho funcionamiento que obedecen a propiedades de las operaciones, tal es el caso del siguiente ejemplo:

“El precio de una camisa es de $ 14. Sufre un incremento del 16%. ¿Cómo determinarías el nuevo precio usando la calculadora?.  Para resolver este problema, muchos empleados de comercios hacen lo siguiente, con una calculadora común: 14 x 1.16 = , obteniendo directamente el nuevo precio. ¿Podrías explicar por qué, realizando dicha cuenta, se obtiene directamente el nuevo precio?”

              En este caso, la primera parte es posible de ser resuelta apelando al recurso del problema anterior. En tanto que la segunda parte implica un análisis más detallado. Esto es, al multiplicar  14 x 1,16 lo que se pone en juego es la idea de pensar al 16% como 16 dividido 100, o sea 0,16. En consecuencia,  hacer 14 x 1,16 es equivalente a realizar 14 x (1 + 0,16) de donde se obtiene (por propiedad distributiva) 14 + 14 x 0,16, y este cálculo es 14 más su 16%. Nuevamente la calculadora aparece como recurso que permite una exploración con cierto grado de control, pero los motivos por los cuales se obtienen los resultados se vuelven a apoyar en las propiedades de las operaciones.


VI- La calculadora para aprender más sobre los números enteros

              El trabajo con los números enteros es posible de ser pensado a partir de situaciones que pongan en funcionamiento este campo numérico. Tal es el caso del juego del "chin-chon", las temperaturas, las alturas, etc. Pero también es pertinente que los alumnos se involucren en el trabajo en torno a algunas propiedades que cumplen estos números y sus operaciones, a partir de extender el campo de números naturales o la recta numérica.

              La calculadora permitirá explorar algunas propiedades que verifican las operaciones entre enteros, a partir de sus propias ideas y de la interacción con la máquina, tal es el caso del siguiente ejemplo:

“Tecleá en la calculadora el número 28. ¿Qué habría que hacer con la máquina para que aparezca el número –1 sin borrar nada?”

              En este caso se espera que los alumnos identifiquen que para obtener un número negativo, hay que restar un valor mayor al que figura en el visor, y a su vez, para que el resultado sea -1, debe ser uno más que el de partida.

              También será necesario informar a los alumnos como se logra que aparezca en el visor el número  - 36, a partir de la tecla que está presente en muchas máquinas: +/-. Y, a partir de allí, proponer a los alumnos un problema como el siguiente:

“Si en el visor de la calculadora escribimos el número  - 42. ¿Qué se podrá hacer con la máquina para que aparezca el 0, sin borrar nada?”

              Este problema permite analizar la existencia de un número que, sumado al dado, permite alcanzar el cero. El apoyo en la recta numérica favorecerá la identificación de cualquier número y su inverso aditivo (o su opuesto), estableciendo que ambos números están a la misma distancia del 0.

              Otro aspecto que puede ser abordado desde el uso de la calculadora es el trabajo sobre la multiplicación de enteros. Para ello, si los alumnos aún no conocen la regla de los signos, se podría proponerles la anticipación del resultado de hacer 3 x (-2) y promover un debate en torno a dichas anticipaciones. Los alumnos no arrojarán resultados al azar. Pensarán en que debería dar 6 o -6. La calculadora podría aportar información. Si tecleamos en la máquina 3 x 2 +/- = aparece el resultado -6. Es aquí donde el docente podría proponer un análisis de por qué da este resultado y no otro. Lo mismo para cálculos del tipo  (-4) x (-3). ¿Cuál será el resultado? ¿Cómo obtenerlo con la calculadora?

              En el mismo sentido de lo que venimos diciendo, se puede proponer a los alumnos un problema como el siguiente, para ser pensado con una calculadora científica:

“En la calculadora científica, si tecleamos 24 + 6 x 4 =  aparece en el visor de la máquina el 48. ¿Se podrá teclear en la calculadora el número 24 y sumarle un producto entre dos números enteros, de manera tal que el resultado que arroje la máquina sea 0?”

              Este problema intenta poner de relieve que el resultado de un producto entre enteros puede ser negativo o positivo, y en consecuencia, hay que armar, de alguna manera, un producto que dé por resultado -24, habilitando el siguiente interrogante: ¿Cómo ingreso dos números en la calculadora de modo tal que su producto sea -24?