CINEMATICA

La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x₁ hasta la posición x₂) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1)

siendo:

e: el espacio recorrido y

t: el tiempo transcurrido.

La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria.

Aceleración

Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s ², gráficamente se representa con un vector.

a = v/t

1.-Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t

v = constante

a = 0

2.-Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t ²

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t ²). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

a ≠ 0 = constante

v = variable

1) Acelerado: a > 0

x_f = x_o + v_o.t + ½.a.t ² (Ecuación de posición)

v_f = v_o + a.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = v_o ² + 2.a.Δx

2) Retardado: a < 0

x_f = x_o + v_o.t - ½.a.t ² (Ecuación de posición)

v_f = v_o - a.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = v_o ² - 2.a.Δx

3) Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial.

a = g

v_o = 0

y_f = ½.g.t ² (Ecuación de posición)

v_f = g.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = 2.a.Δy

4) Tiro vertical: movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento, puede ser ascendente o descendente.

a = g

v_o ≠ 0

y_f = y_o + v_o.t - ½.g.t ² (Ecuación de posición)

v_f = v_o - g.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = v_o ² - 2.a.Δy

5) Tiro parabólico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

v_o ≠ 0

6) Tiro oblicuo: movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los eje x e y, en el eje y se comporta como caída libre, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

v_o = 0

Movimiento circular en el plano

El movimiento circular es otro tipo de movimiento sencillo. Si un objeto se mueve con celeridad constante pero la aceleración forma siempre un ángulo recto con su velocidad, se desplazará en un círculo. La aceleración está dirigida hacia el centro del círculo y se denomina aceleración normal o centrípeta. En el caso de un objeto que se desplaza a velocidad v en un círculo de radio r, la aceleración centrípeta es:

a = v ²/r.

En este movimiento, tanto la aceleración como la velocidad tienen componentes en x e y.

1) Horizontal:

s = R. θ s: arco de circunferencia recorrido

θ: ángulo desplazado

v = R.ω ω: velocidad angular

a_T = R. α a_T: aceleración tangencial

α : aceleración angular

a_N = v ²/R a_N: aceleración normal o centrípeta

a_N = R. ω ²

Sí v = constante Þ a_T = 0

2) Vertical: este movimiento no es uniforme ya que la velocidad del cuerpo aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Para este modelo el cuerpo está sujeto por una cuerda, entonces, las fuerzas que actúan son el peso del cuerpo y la tensión de la cuerda, que componen una fuerza resultante.

F_T = m.g.sen θ

F_N = T - m.g.cos θ

T = m.(v ²/R + g.cos θ)

Siendo en el punto más bajo

T = m.(v ²/R + g)

Siendo en el punto más alto

T = m.(v ²/R - g)

En el punto mas alto la velocidad es crítica, por debajo de ésta la cuerda deja de estar tensa.

v_c ² = R.g

3) Péndulo físico:

F_T = m.g.sen θ

F_N = T - m.g.cos θ

Amplitud:

s = R. θ

La velocidad es variable, anulándose en cada extremo del arco de circunferencia (amplitud).

T = m.g.cos θ

En el punto más bajo:

θ = 0

F_T = 0

F_N = T - P

El período τ es el tiempo en que se efectúa una oscilación completa.

τ = 2.π.√R/g

La frecuencia f es la relación entre el número de revoluciones y el tiempo de observación.

f = 1/ τ

PROBLEMAS  PROPUESTOS  DE

Movimiento Rectilíneo Uniforme

1.        A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h?

2.        Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.

3.        Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido.

4.        En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

5.        Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t₁ = 0 s y t₂ = 4 s, sus posiciones son x₁ = 9,5 cm y
x₂ = 25,5 cm. Determinar:

a) Velocidad del móvil.
b) Su posición en t₃ = 1 s.
c) Las ecuaciones de movimiento.
d) Su abscisa en el instante t₄ = 2,5 s.
e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil.

6.        Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posición es x₀ = -4 m, trazar las gráficas x = f(t) y v = f(t).

7.        Pasar de unidades las siguientes velocidades:

a) de 36 km/h a m/s.

b) de 10 m/s a km/h.

c) de 30 km/min a cm/s.

d) de 50 m/min a km/h.

8.        Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular:

a) Su velocidad.

b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?.

9.        Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?

10.     La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador.

              a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?.

               b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?.

11. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.

12.     Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo t₁ = 0,5 s y
t₂ = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x₁ = 3,5 m y x₂ = 43,5 m. Calcular:

a) ¿A qué velocidad se desplaza el auto?.

b) ¿En qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?.

13.     ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje?.

14. ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 km/h o el (b) que lo hace a 45 m/s?

15. ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m?

16. ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km?

PROBLEMAS PROPUESTOS DE

Movimiento Uniformemente variado

1.   Al planificar un viaje, has decidido hacerlo a una velocidad media de 90 km / h. tu coche ha sufrido una avería y has recorrido la mitad del trayecto con una velocidad media de 50 km / h. ¿Cuál debe ser la velocidad media en la segunda mitad del viaje para lograr tu propósito?   ¿Es razonable esa velocidad?  Rta. v = 450 km / h

2.   Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 36 km / h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración? ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s? Rta. (a)  a = 1 m / s² (b)  x = 50 m

3.   Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se pone la luz verde arranca con aceleración constante de 2 m / s². En el momento de arrancar es adelantado por un camión que se mueve con velocidad constante de 54 km / h. Calcula:   a) ¿A qué distancia del semáforo alcanzará el coche al camión?   b)  ¿Qué velocidad posee el coche en ese momento? Rta. (a)  225 m (b)  108 km / h

4.   El código de circulación establece que la distancia mínima que debe guardar un vehículo con respecto al vehículo anterior debe ser igual, en metros, al cuadrado de la velocidad expresada en miriámetros por hora. Por ejemplo, en el supuesto de que la velocidad fuera 120 km / h = 12 Mm / h, la distancia debe ser 144 m.  a)  ¿Cuál debe ser la distancia de seguridad para un coche que circula a 25 m / s?   b)  ¿Para qué valor de la aceleración está establecida la norma?   c)  Un coche A circula con una velocidad de 45 km / h a una distancia de 20 m del coche B que le precede. ¿Cumple el coche A la disposición legal?   d)  Si el coche B para bruscamente y el conductor del coche A tarda dos segundos en frenar, ¿habrá colisión entre los dos vehículos suponiendo que la máxima deceleración que puede soportar el automóvil es de 8 m / s²?  Rta. (a)  81 m ,(b)  - 3,86 m / s²,(c)  Sí,(d)  Colisionan antes de frenar

5.   Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despegar con una velocidad de 72 m / s. Estos aviones pueden acelerar uniformemente a razón de 4 m / s². a)  ¿Cuánto tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de despegue?   b)  ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de despegue? Rta. (a)  t = 18 s (b)  x = 648 m

6.   Desde un punto situado a 55 m de altura se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una velocidad de 30 m / s.  Calcula:   a)  ¿Con qué velocidad llega a la calle?   b)  ¿Cuánto tiempo tarda en caer?   c)  ¿Qué velocidad posee cuando se encuentra a 10 m del suelo? Rta. (a)  v = -44, 47 m / s   (44,47 m / s hacia abajo) (b)  t=1,47 s(c)  v=-42,21 m / s    (42,21 m / s hacia abajo)

7.   Carlos y Ana están disfrutando de una agradable tarde en el campo. La distracción favorita de Carlos es arrojar piedras al aire sin un blanco definido. En un momento determinado Ana, que está pensando en la clase de física, dice a su compañero: “Lanza una piedra verticalmente hacia arriba con todas tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado con un cronómetro”. Lanza Carlos la piedra y Ana observa en su cronómetro que tarda 8 s desde que la piedra es lanzada y vuelve al suelo.   a)  ¿Con qué velocidad lanzó Carlos la piedra?   b)  ¿Qué altura alcanzó ésta?  Rta. (a)  39,2 m / s (b)  78,4 m

Nota:   *  Si vas a realizar la experiencia no olvides protegerte de la caída de la piedra (todo lo que sube baja).

             *  Considera que la piedra se ha lanzado prácticamente desde el suelo.

8.   Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m / s.   a)  ¿A qué altura se cruzan?   b)  ¿Qué velocidad tiene cada objeto en ese instante?   c)  ¿Dónde se encuentra el segundo objeto cuando el primero llega al suelo? Rta. (a)  A 19,28 m del suelo(b)  v₁=-34,49 m / s           ;v₂=5,1 m / s(c)  A 20,4 m del suelo

9.   Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 18 m / s. ¿Qué velocidad tendrá 3 s después?  ¿Qué distancia recorre en el tiempo anterior? Rta. (a)  47,4 m / s   hacia abajo (b)  98,1 m más abajo

10. Desde el borde de un acantilado de h metros de altitud sobre el nivel del mar se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 45 m / s y se observa que tarda 10 s en caer al agua.   a)  ¿Qué altura tiene el acantilado?   b)  ¿Qué altura máxima alcanza la piedra respecto del nivel del mar?   c)  ¿Con qué velocidad llega a la superficie del agua? Rta. (a)  47,4 m / s   hacia abajo (b)  98,1 m más abajo

11. Desde un globo que se está elevando a 2 m / s se deja caer un paquete cuando se encuentra a 60 m de altitud.  a)  ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?   b)  ¿Con qué velocidad llega?   c)  ¿Dónde se encuentra el globo cuando llega el paquete al suelo? Rta. (a)  3,7 s (b)  34,26 m / s hacia abajo(c)  67,4 m

12. Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a 50 s de iniciada su marcha, alcanza una velocidad de 36 km / h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula:  a) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento.  b) La aceleración normal y la aceleración total en el momento de cumplirse 50 s. c) La longitud de la pista recorrida en 50 s.  d) La velocidad tangencial media y la velocidad angular media en la primera etapa del movimiento.  e) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista, con velocidad constante.  f) El número de vueltas queda en 10 minutos contados desde que inicio el movimiento.      Rta. (a)  0,004 rad / s² (b)  a _N = 2 m / s² ; a _T = 2,01 m / s²(c)  250 m(d)  v = 5 m / s ; w = 0,1 rad / s(e)  31,4 s(f)  0,796 vueltas   

13. Una pelota se lanza con una velocidad de 100 m /s y con un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. Determina: a) La posición y la velocidad de la pelota a 2,5 s del lanzamiento. b) En qué instante la pelota alcanza el punto más alto de la trayectoria y la altitud de dicho punto. c) En qué instante la pelota se encuentra a 50 m de altura y la velocidad que tiene. d) El alcance de la pelota. e) Con qué velocidad llega a la horizontal del punto de lanzamiento

14. Desde un acantilado de 100 m de altura se lanza horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 15 m / s. Calcula: a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 s después? b) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la superficie? d) ¿Con qué velocidad lega al agua? 

15. Un avión vuela a 800 m de altura y deja caer un paquete 1000 m antes de sobrevolar el objetivo haciendo blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión?

16. Un jugador de baloncesto pretende realizar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una distancia de 6,5 m y a una altura de 1,9 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura de 2,5 m, ¿con qué velocidad debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30°?

17. Deseas limpiar una ventana situada a 8 m del suelo para lo cual dispones de una manguera que sujetas a 1,5 m del suelo con una inclinación de 60°. Si tu distancia horizontal a la ventana es de 10 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua?

18. En un duelo de película, un pistolero dispara horizontalmente una bala con una velocidad de 200 m / s desde una altura de 1,5 m. Calcula la distancia mínima entre los dos adversarios situados en el plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada.